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* 簡易モデルの勝率

日時: 2010/04/10 20:44 < ID:deYzcBhBd/ >メンテ
名前: オジー
参照: http://warriors.ongaeshi.biz/taisenriron/sy.html

対戦理論の研究のため、簡易モデルの勝率を求めるスレッドです。
用語についてはWARRIORSの対戦理論をご覧ください。
不明な点は説明しますので、一言お願いします。

>>1詳しい方法について
>>2全てのポケモンの流し回数1回

■勝率を求めたい簡易モデル
 

@ラグラージの流し回数+1回
プレイヤーA
 A1:ラグラージ HP:16 素早さ:3 ミロカロスに8 バシャーモに16
 A2:ジュカイン HP:16 素早さ:5 ミロカロスに16 バシャーモに6
プレイヤーB
 B1:ミロカロス HP:16 素早さ:4 ラグラージに16 ジュカインに8
 B2:バシャーモ HP:16 素早さ:4 ラグラージに【4】 ジュカインに16

Aジュカインの流し回数+1回
プレイヤーA
 A1:ラグラージ HP:16 素早さ:3 ミロカロスに8 バシャーモに16
 A2:ジュカイン HP:16 素早さ:5 ミロカロスに16 バシャーモに6
プレイヤーB
 B1:ミロカロス HP:16 素早さ:4 ラグラージに16 ジュカインに【6】
 B2:バシャーモ HP:16 素早さ:4 ラグラージに6 ジュカインに16

Bミロカロスの流し回数+1回
プレイヤーA
 A1:ラグラージ HP:16 素早さ:3 ミロカロスに【6】 バシャーモに16
 A2:ジュカイン HP:16 素早さ:5 ミロカロスに16 バシャーモに6
プレイヤーB
 B1:ミロカロス HP:16 素早さ:4 ラグラージに16 ジュカインに8
 B2:バシャーモ HP:16 素早さ:4 ラグラージに6 ジュカインに16
 
Page: [1]
* Re: 簡易モデルの勝率 ( No.1 )
日時: 2010/04/10 20:44 < ID:deYzcBhBd/ >メンテ
名前: オジー
参照: http://warriors.ongaeshi.biz/taisenriron/sy.html

■簡易モデルとは
 対戦するポケモンの数が2匹ずつであったり、技が一つしかないといったように、
 実際のバトルよりも簡単なモデルです。
 例えば2対2シングル、全てのポケモンの流し回数が1回、
 流す対象を全て1発で倒せるモデルでは、以下のようなものが考えられます。

プレイヤーA
 A1:ラグラージ HP:16 素早さ:3 ミロカロスに8 バシャーモに16
 A2:ジュカイン HP:16 素早さ:5 ミロカロスに16 バシャーモに6
プレイヤーB
 B1:ミロカロス HP:16 素早さ:4 ラグラージに16 ジュカインに8
 B2:バシャーモ HP:16 素早さ:4 ラグラージに6 ジュカインに16



■勝率を求める手順
@枝分れを書き出す
 枝分れとは、ある時点から分かれる複数の結果のことを意味します。
 まずは、どのような結果が起こるかを全て書き出します。

A勝率の出るターンから、前のターンの勝率を求めていく
 枝分れを書きだしていくと、勝敗が決まるターンに辿り着きます。
 そのターンから前のターンの勝率を計算していきます。


■支配戦略がある場合は必ず選ぶ
 支配戦略とは、相手がどのような選択をしようと、
 他の選択肢よりも勝率が高くなる選択です。例えば

Turn2C Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
ジュカインHP8 ミロカロスHP16 控:ラグラージHP16 バシャーモHP16
 攻撃×攻撃…Aの勝ち
☆攻撃×交換…Turn3CBへ。Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
 交換×攻撃…Bの勝ち
 交換×交換…Turn3CDへ。Aの勝率1/6、Bの勝率5/6

このターンにおいてAは、攻撃を選ぶことが支配戦略です。
これよりBは必ず交換を選ぶので、攻撃×交換しか起こりません。


■選択比率について
 選択比率とは、プレイヤーが選択肢をどれ程の比率で選ぶかを意味します。
 今回は「相手がどのような選択比率でも、勝率が一定になる」ようにします。
 例えば

 Turn4DCB
 ラグラージHP10 ミロカロスHP8 控:ジュカインHP16 バシャーモHP16
 攻撃×攻撃…Bの勝ち
 攻撃×交換…Aの勝ち
 交換×攻撃…Turn5DCBCへ。 Aの勝率1/2、Bの勝率1/2
 交換×交換…Bの勝ち

 このターンの勝率を求めるます。
 Aの勝率をZ、Aのラグラージが攻撃を選ぶ確率をa、交換を選ぶ確率を(1-a)、
 Bのミロカロスが攻撃を選ぶ確率をb、交換を選ぶ確率を(1-b)とすると
 Zは次式で表すことが出来ます。

 Z = a * b * 0 + a * (1 - b) * 1 + (1 - a) * b * 1/2 + (1 - a)(1 - b) * 0

 と表せます。bの値が何であろうとZが一定になるので、
 bに1を代入した場合と、0を代入した場合の、勝率Zは等しくなります。

 Z
  = a * 1 * 0 + a * (1 - 1) * 1 + (1 - a) * 1 * 1/2 + (1 - a)(1 - 1) * 0
  = a * 0 * 0 + a * (1 - 0) * 1 + (1 - a) * 0 * 1/2 + (1 - a)(1 - 0) * 0

 この式を解いていきます。

 (1 - a) * 1 * 1/2 = a * 1 * 1
 1/2 - 1/2 * a = a
 a = 1/3

 よってAは攻撃を1/3の確率で選ぶと、Bがどのような比率であろうと
 Aの勝率Zを一定にすることが出来ます。この例ではAの勝率Zも1/3になります。
 このようにして最初のターンまで遡って行けば、バトルの勝率を出すことが出来ます。


■一定の勝率を求める式
 以上のような計算を一般式で表します。
 Aが攻撃を選ぶ確率a、交換を選ぶ確率b、
 Bが攻撃を選ぶ確率c、交換を選ぶ確率d、
 v、w、x、yは各選択結果の勝率です。

 Turn? Aの勝率Z
 攻撃a×攻撃c…Aの勝率v
 攻撃a×交換d…Aの勝率w
 
 交換b×攻撃c…Aの勝率x
 交換b×交換d…Aの勝率y

 Z = { (x - y) * v + (w - v) * x } / (x - y + w - v)


■同時交換で前のターンと同じ状況になる時
 以下のような状況が頻繁に起こります。

 Turn3DC
 ラグラージHP10 バシャーモHP16 控:ジュカインHP16 ミロカロスHP16
  攻撃×攻撃…Aの勝ち
  攻撃×交換…Turn4DCBへ。Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
  交換×攻撃…Bの勝ち
  交換×交換…Turn4DCDへ。

 Turn4DCD
 ジュカインHP16 ミロカロスHP16 控:ラグラージHP10 バシャーモHP16
  攻撃×攻撃…Aの勝ち
  攻撃×交換…Bの勝ち
  交換×攻撃…Bの勝ち
  交換×交換…Turn3DCへ戻る。


 このような時は、まず前のターン(Turn3DC)において交換×交換が起こりうると仮定し
 後のターン(Turn4DCD)において交換×交換が起こりうるかを調べます。
 各プレイヤーに支配戦略があるかを調べるということです。
 その後、前のターンにおいて交換×交換が起こりうるか調べます。

 この例のTurn4DCDでは、明らかに支配戦略が存在しないと分かるので
 Turn3DCについてだけ考えます。■一定の勝率を求める式

 Z = { (x - y) * v + (w - v) * x } / (x - y + w - v)

 を用います。Turn4DCDのAの勝率をZとするとyがTurn3DCの勝率になります

 y = {(0 - Z) * 1 + (1/3 - 1) * 0} / (0 - Z + 1/3 - 1)
 y = -Z / (-2/3 - Z) = 3Z / (2 + 3Z)

 Z = {(0 - y) * 0 + (0 - 1) * y} / (0 - y + 0 - 1)
  = ( -y ) / (-y - 1)
 
 Z * (y + 1) = y

 y = 3Z / (2 + 3Z) を代入します。

 Z * (3Z + 2 + 3Z) / (2 + 3Z) = 3Z / (2 + 3Z)

 6 * Z^2 + 2Z = 3Z

 Z = 1/6


 よってTurn4DCDのAの勝率 Z = 1/6 より、
 Turn3DCにおいて、Aは攻撃が支配戦略となります。
 Turn3DCの勝率は攻撃×交換しか起こらないので
 Aの勝率1/3、Bの勝率2/3となります。
* 全てのポケモンの流し回数が1回 ( No.2 )
日時: 2010/04/10 20:46 < ID:deYzcBhBd/ >メンテ
名前: オジー
参照: http://warriors.ongaeshi.biz/taisenriron/sy.html

全てのポケモンの流し回数が1回、
流すポケモンは全て1発、
勝率一定の選択比率のとき、
Aの勝率は1/3、Bの勝率は2/3になりました。

プレイヤーA
 A1:ラグラージ HP:16 素早さ:3 ミロカロスに8 バシャーモに16
 A2:ジュカイン HP:16 素早さ:5 ミロカロスに16 バシャーモに6
プレイヤーB
 B1:ミロカロス HP:16 素早さ:4 ラグラージに16 ジュカインに8
 B2:バシャーモ HP:16 素早さ:4 ラグラージに6 ジュカインに16


Turn1 Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
ラグラージHP16 ミロカロスHP16 控:ジュカインHP16 バシャーモHP16
 攻撃×攻撃…Bの勝ち
 攻撃×交換…Aの勝ち
☆交換×攻撃…Turn2Cへ。Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
 交換×交換…Turn2Dへ。Aの勝率1/3、Bの勝率2/3

■ ■
Turn2C Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
ジュカインHP8 ミロカロスHP16 控:ラグラージHP16 バシャーモHP16
 攻撃×攻撃…Aの勝ち
☆攻撃×交換…Turn3CBへ。Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
 交換×攻撃…Bの勝ち
 交換×交換…Turn3CDへ。Aの勝率1/6、Bの勝率5/6

Turn2D Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
ジュカインHP16 バシャーモHP16 控:ラグラージHP16 ミロカロスHP16
 攻撃×攻撃…Bの勝ち
 攻撃×交換…Aの勝ち
☆交換×攻撃…Turn3DCへ。Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
 交換×交換…Turn1へ戻る。Aの勝率1/3、Bの勝率2/3

■ ■ ■
Turn3CB Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
ジュカインHP8 バシャーモHP10 控:ラグラージHP16 ミロカロスHP16
 攻撃×攻撃…Bの勝ち
 攻撃×交換…Aの勝ち
 交換×攻撃…Turn4CBCへ。 Aの勝率1/2、Bの勝率1/2
 交換×交換…Bの勝ち

Turn3CD
ラグラージHP16 バシャーモHP16 控:ジュカインHP8 ミロカロスHP16
 攻撃×攻撃…Aの勝ち
 攻撃×交換…Bの勝ち
 交換×攻撃…Bの勝ち
 交換×交換…Turn2Cへ戻る。Aの勝率1/5、Bの勝率4/5

Turn3DC Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
ラグラージHP10 バシャーモHP16 控:ジュカインHP16 ミロカロスHP16
 攻撃×攻撃…Aの勝ち
☆攻撃×交換…Turn4DCBへ。Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
 交換×攻撃…Bの勝ち
 交換×交換…Turn4DCDへ。Aの勝率1/6、Bの勝率5/6

■ ■ ■ ■
Turn4CBC Aの勝率1/2、Bの勝率1/2
ラグラージHP10 バシャーモHP10 控:ジュカインHP8 ミロカロスHP16
 攻撃×攻撃…Aの勝ち
 攻撃×交換…Bの勝ち
 交換×攻撃…Bの勝ち
 交換×交換…Aの勝ち

Turn4DCB Aの勝率1/3、Bの勝率2/3
ラグラージHP10 ミロカロスHP8 控:ジュカインHP16 バシャーモHP16
 攻撃×攻撃…Bの勝ち
 攻撃×交換…Aの勝ち
 交換×攻撃…Turn5DCBCへ。 Aの勝率1/2、Bの勝率1/2
 交換×交換…Bの勝ち

Turn4DCD Aの勝率1/6、Bの勝率5/6
ジュカインHP16 ミロカロスHP16 控:ラグラージHP10 バシャーモHP16
 攻撃×攻撃…Aの勝ち
 攻撃×交換…Bの勝ち
 交換×攻撃…Bの勝ち
 交換×交換…Turn3DCへ戻る。Aの勝率1/5、Bの勝率4/5

■ ■ ■ ■ ■
Turn5DCBC Aの勝率1/2、Bの勝率1/2
ジュカインHP8 ミロカロスHP8 控:ラグラージHP10 バシャーモHP16
 攻撃×攻撃…Aの勝ち
 攻撃×交換…Bの勝ち
 交換×攻撃…Bの勝ち
 交換×交換…Aの勝ち
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